密度矩阵

阐述

密度矩阵可以用于描述经典混合的量子态，定义为

$$\rho= \sum_{i} p_{i}\left|v_{i}\right\rangle\langle v_{i}|$$

它满足 $\operatorname{Tr}\rho=1$ 且本征值均为非负（正定）。对量子态进行酉变换等价于对密度矩阵进行酉变换 $U\rho U^\dagger$。

密度矩阵虽然不能完全描述态的本质（不同的态可以用同一个密度矩阵），但已经足够用于描述任何测量结果：

• 对应于投影矩阵 $\Pi_r$ 的测量概率是 $\operatorname{Tr}\Pi_r\rho$
• 对应于投影矩阵 $\Pi_r$ 的后验密度矩阵是

$$\rho_r=\frac{\Pi_{r} \rho \Pi_{r}}{\operatorname{Tr}\left(\Pi_{r} \rho\right)}$$

密度矩阵的部分求迹

若两个体系的联合密度矩阵是

$$\rho_{A B}=\left(\begin{array}{ll}P & Q \\ R & S\end{array}\right)$$

则它在 A 上求迹得到

$$\operatorname{Tr}_{A}\left(\begin{array}{ll}P & Q \\ R & S\end{array}\right)=P+S$$

而在 B 上求迹得到

$$\operatorname{Tr}_{B}\left(\begin{array}{ll}P & Q \\ R & S\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\operatorname{Tr} P & \operatorname{Tr} Q \\ \operatorname{Tr} R & \operatorname{Tr} S\end{array}\right)$$

另一种表示形式是

$$\operatorname{Tr}_{A} \rho=\sum_{i=0}^{d-1}\left\langle e_{i}|\rho| e_{i}\right\rangle$$

其中，$e_i$ 可以看作是 $(1,0)\otimes I_2$ 形成的一个 2 x 4 的矩阵。

对纠缠态其中一个的测量使得另一个进入混合态，它等价于部分求迹的操作。测量的基并不影响该混合态的密度矩阵。

部分求迹和张量积的关系：

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_A(M_A\otimes M_B)=(\operatorname{Tr}_AM_A)M_B\\ \operatorname{Tr}_B(M_A\otimes M_B)=(\operatorname{Tr}_BM_B)M_A \end{aligned}$$

实例

$|0\rangle,|1\rangle$ 的等量混合态

$$\left(\begin{array}{ll}\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right)$$

性质

相关内容

叠加态和混合态在某些测量上可能表现一致，但在另外一些测量上不一致。例如叠加态 $|+\rangle$ 和 $|0\rangle,|1\rangle$ 的等量混合态直接测量结果一致，但如果先用 $H$ 门处理再测量，前者只能得到 0 而后者均有可能。

参考文献