高阶前向自动微分

阐述

Faà di Bruno 公式 给出了高阶导数的传导规则。

实现（基于运算符重载）

给定函数 $f:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$，定义多个基元 $t=(t_1,\cdots,t_n)^T$ 是具有性质 $t^N=0$ 的代数系统，则该系统的原语为

$$\alpha(x+a_it_i)=\alpha(x)+\alpha'(x)a_it_i+\frac12\alpha''(x)a_ia_jt_it_j+\cdots$$

实例

二元运算

乘法

$$v_i=\sum_{j=0}^i\binom ij a_jb_{i-j}$$

乘方 $v=f^{\alpha}$

$$v_i=\frac1{f_0}\sum_{j=0}^{i-1}\left(\alpha\binom{i-1}{j}-\binom{i-1}{j-1}\right)f_{i-j}v_j$$

性质

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参考文献