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量子相位估计算法

阐述​

问题​

设 UU 是作用于 mm 个量子位的算符且存在 ∣ψ⟩|\psi\rangle 使得 U∣ψ⟩=e2πiθ∣ψ⟩U|\psi\rangle=e^{2\pi i\theta}|\psi\rangle (0≤θ<10\le\theta<1)，要求以一定的精度估计 θ\theta。

算法​

  1. 准备两组寄存器分别初始化为 ∣0n⟩|0^n\rangle 和 ∣ψ⟩|\psi\rangle；
  2. 在第一组寄存器上施加 ∣H⊗n⟩|H^{\otimes n}\rangle；
  3. 依次在第一组寄存器的第 n−in-i 个量子位和第二组寄存器之间施加 C−U2iC-U^{2^i} 门，i=0,⋯ ,n−1i=0,\cdots,n-1；
  4. 在第一组寄存器上进行逆量子 Fourier 变换；
  5. 测量第一组寄存器，得到 ∣a⟩|a\rangle，则 θ≈a/2n\theta\approx a/2^n。

计算过程​

根据量子反作用，施加控制门后系统的状态为

12n∑k=02n−1e2πiθk∣k⟩\frac{1}{\sqrt{2^n}} \sum_{k=0}^{2^{n}-1} e^{2 \pi i \theta k}|k\rangle

这个结果很像 Fourier 变换的产物，所以如果 θ=j/2L\theta=j/2^L，我们将直接得到 jj。如果不是的话，设 2nθ=a+2nδ2^{n} \theta=a+2^{n} \delta，其中 ∣2nδ∣≤1/2|2^n\delta|\le1/2，可以计算变换后的结果为

12n∑j=02n−1∑k=02n−1e2πik(θ−j/2n)∣j⟩\frac{1}{2^{n}} \sum_{j=0}^{2^{n}-1} \sum_{k=0}^{2^{n}-1} e^{2 \pi ik(\theta-j/2^n)}|j\rangle

记 δ=θ−j/2n\delta=\theta-j/2^n，它测量得到 ∣j⟩|j\rangle 的概率为

122n∣1−e2πi2nδ1−e2πiδ∣2\frac{1}{2^{2 n}}\left|\frac{1-e^{2 \pi i 2^{n} \delta}}{1-e^{2 \pi i \delta}}\right|^{2}

可以证明它大于 4/π24/\pi^2。

实例​

性质​

相关内容​

参考文献​