• 阐述

  量子线路就是由一系列量子门处理的量子比特。

• 量子门

  一个 $n$ 个比特的量子门是一个 $2^n$ 维的酉矩阵，常见的量子门有

• 一位

• $\sigma_w,w=x,y,z$，Pauli 矩阵

• $R_w(\theta)$，特别地 $R_w(\pi)=-i\sigma_w$

• Hadamard 门，可以认为是 $\sigma_x,\sigma_z$ 的叠加，对应于沿 $(1,0,1)/\sqrt 2$ 点旋转；具有性质 $HXH=Z$，$HYH=-Y$； $H=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{rr}1 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right)$

• 两位

  $$\mathrm{CNOT}=\left(\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0\end{array}\right)$$ $$\mathrm{SWAP}=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$

• 实例

• 性质

• 相关内容

• 定理

  任意酉变换可以用 CNOT 门和一位门实现：

• 任意一位酉变换可以用 $R_z(\theta_3)R_y(\theta_2)R_z(\theta_1)$ 实现

• 可以用 $R_w(\theta),R_w(-\theta)$ 和两个 CNOT 来实现 C-$R_w(2\theta)$ ，其中 $w=y,z$

• 任意控制酉变换可以用 $C-U=C-R_z(\theta_3)C-R_y(\theta_2)C-R_z(\theta_1)$ 实现

• 用 Toffoli 门可以类似地实现双控制酉变换

• 从单控制和 Toffoli 可以实现 $C^k-U$

• 从这个矩阵加上 NOT、CNOT 可以实现任意二级矩阵

• 用二级矩阵可以实现所有矩阵

• 参考文献