张量积

阐述

张量积是从两个分立的量子系统构建更大的量子系统的方法。

量子态的张量积记作 $|a\rangle\otimes|b\rangle$ 或 $|ab\rangle$ 。联合系统的基是分立系统的基之间进行张量积得到的。联合系统的空间维数是各个独立系统的维数的乘积。在向量表示下，

\left(\begin{array}{l}\alpha_{0} \\ \alpha_{1}\end{array}\right) \otimes\left(\begin{array}{l}\beta_{0} \\ \beta_{1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\alpha_{0} \beta_{0} \\ \alpha_{0} \beta_{1} \\ \alpha_{1} \beta_{0} \\ \alpha_{1} \beta_{1}\end{array}\right)

算符的张量积记作 $U \otimes V$ ，矩阵表示下

\left(\begin{array}{rrrr}u_{11} V & u_{12} V & \ldots & u_{1 k} V \\ u_{21} V & u_{22} V & \ldots & u_{2 k} V \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ u_{k 1} V & u_{k 2} V & \ldots & u_{k k} V\end{array}\right)

张量积算符作用于张量积态得到的仍然是张量积态，运算规则是

(U_1\otimes U_2)(|\phi_1\rangle\otimes|\phi_2\rangle)=U_1|\phi_1\rangle\otimes U_2|\phi_2\rangle

若两个系统 A、B 分别具有物理量 $M_A,M_B$ ，则可以对其中一个系统进行测量

\left\{\Pi_{i}^{A} \otimes I \mid 1 \leqslant i \leqslant k\right\}

可以对两个物理量的和 $M_A\otimes I_B+I_A\otimes M_B$ 进行测量，也可以对两个物理量的积 $M_A\otimes M_B$ 进行测量

\left\{\Pi_{i}^{A} \otimes \Pi_{j}^{B} \mid 1 \leqslant i \leqslant k, 1 \leqslant j \leqslant \ell\right\}

|00\cdots00\rangle,|00\cdots 01\rangle,\cdots,|11\cdots 10\rangle,|11\cdots11\rangle

|\psi\rangle=\alpha|00\rangle+\beta|01\rangle+\gamma|10\rangle

测量第一个量子比特，可以以 $|\alpha|^2+|\beta|^2$ 的概率得到态

\frac{1}{\sqrt{|\alpha|^{2}+|\beta|^{2}}}(\alpha|00\rangle+\beta|01\rangle)

以 $|\gamma|^2$ 的概率得到态 $|10\rangle$ 。