可选停时定理

设 $M_i$ 是相对于 $X_i$ 的鞅，$T$ 是停时，则 $M_{i\wedge T}$ 也是鞅。

阐述

若 $M_i$ 是一个相对于 $X_i$ 的鞅，$T$ 是停时，则只要以下三个条件之一满足：

1. $\mathbb P(T\le c)=1$，对于某个 $c<\infty$
2. $\mathbb E(T)<\infty$，并且给定 $T>i$ 时 $\mathbb P(|M_{i+1}-M_i|\le c)=1$，对于某个 $c<\infty$
3. $\mathbb P(|M_{i\wedge T}|\le c)=1$，对于某个 $c<\infty$

那么就有 $\mathbb E(M_T)=\mathbb E(M_1)$。

实例

停时所给出的等式可以用于计算很多东西，例如 $T$ 的期望或者某些概率，只要我们能找到合适的鞅并让鞅中包含这些量即可。

$\mathbb Z$ 上随机游走

考虑问题：从 0 开始的 $\mathbb Z$ 上随机游走先到 a 再到 b 的概率有多大（$a<0<b$）？这个时间期望是多少？

• $S_n$ 是一个鞅，应用这个鞅可以得到 $\mathbb P(\mathrm{hit~a~first~})=b/(b-a)$
• $S_n^2-n$ 是一个鞅，应用这个鞅可以得到 $\mathbb E(T)=-ab$

性质

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参考文献