鞅

阐述

定义 1

如果一个随机过程 $X_i\in\mathbb R$ 满足以下条件

1. $\mathbb E(|X_i|)<\infty$
2. $\mathbb E(X_{i+1}|X_1,\cdots,X_i)=X_i$

就称它是一个鞅。第二个条件的表述也可以换成 $\mathbb E(X_{i+1}|X_1=x_1,\cdots,X_i=x_i)=x_i$。

定义 2

如果一个随机过程 $Y_i$ 满足

1. $\mathbb E(|Y_i|)<\infty$
2. $Y_i$ 是 $X_1,\cdots,X_i$ 的函数
3. $\mathbb E(Y_{i+1}|X_1,\cdots,X_i)=Y_i$

就称它是一个相对于 $X_i$ 的鞅。

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这两个定义是等价的，即如果 $Y_i$ 是一个相对于 $X_i$ 的鞅，那么它自己也是一个鞅。

实例

• $\mathbb Z$ 上的随机游走是一个鞅
• 如果 $X_i$ 是独立同分部随机变量，平均值为 0，则 $S_n=X_1+\cdots+X_n$ 是一个鞅
• 如果 $X_i$ 是独立同分部随机变量，平均值为 0，方差为 1，则 $M_i=S_i^2-i$ 是一个鞅

Doob 鞅

如果 $X,Y_i$ 是随机变量且 $\mathbb E(|X|)<\infty$，则 $M_i=\mathbb E(X|Y_1,\cdots,Y_i)$ 是一个相对于 $Y_i$ 的鞅。

性质

• 如果 $X_i,Y_i$ 是鞅，并且它们独立，则 $X_i+Y_i$ 也是鞅。

如果 $M_i$ 是关于 $X_i$ 的鞅：

• $\mathbb E(M_i)=\mathbb E(M_1)$
• $\mathbb E(M_i|X_1,\cdots,X_j)=M_j$，$j\le i$
• $M_i$ 的增量是不相关的，即 $\mathbb E((M_j-M_i)(M_{j'}-M_{i'}))=0$，$i<j<i'<j'$

鞅的收敛

若一个鞅是一致有界的 $\mathbb E(|M_i|)\le C<\infty$，那么极限

$$M_\infty=\lim_{i\to\infty}M_i$$

几乎确定存在，并且 $\mathbb E(|M_\infty|)<\infty$。

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参考文献