数值积分

阐述

计算

$$I=\int_a^b f(x)\mathrm dx\approx I_N=\sum_{n=0}^Nf(x_n)w_n$$

通过在有限个点上计算 $f(x)$ 的值并求和来近似这个积分。方便起见，可以选取 $[0,\pi]$ 这个区间。

梯形法则

$$I_N=\sum_{n=0}^{N-1}\frac\pi N\frac{f(n\pi/N)+f((n+1)\pi/N)}2$$

Clenshaw-Curtis 格点

进行变量代换：

$$I=\int_{-1}^1f(x)\mathrm dx=\int_0^\pi f(\cos\theta)\sin\theta\mathrm d\theta=a_0+\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{2a_{2k}}{1-(2k)^2}=d^Ta$$

其中 $f(\cos\theta)$ 这个部分在 $[0,\pi]$ 内部是光滑的，而且所有奇数次导数在 $0,\pi$ 都为 0。所以

$$f(\cos\theta)=\frac{a_0}2+\sum_{k=1}^{+\infty}a_k\cos k\theta$$

的各项系数是指数衰减的。接下来计算系数：

$$a_k=\frac2\pi\int_0^\pi f(\cos\theta)\cos k\theta\mathrm d\theta$$

这些系数都可以用梯形法则来计算，最终得到 $a=Dy$，而且这个 $D$ 可以用离散余弦变换算出来。最终 $I=d^TDy=w^Ty$ 就是所求的法则。

自适应格点积分

• p-适应：反复加倍 $N$
• h-适应：反复对区间二分，然后对每个区间使用固定的 $N$ 积分
• h, p-适应：两者都有

如果某个比较小的 $N$ 格点包含在比较大的 $N$ 之内，则称这个积分是嵌套的。Chlenshaw-Curtis 积分是嵌套的，因为

$$x_n=\cos\left(\frac{\pi n}N\right)$$

实例

性质

误差分析

一般情况下，误差 $~1/N^2$，但有些情况下收敛速度是指数的。

在 $[0,\pi]$ 上做 Fourier 展开：

$$f(x)=\frac{a_0}2+\sum_{k=1}^\infty a_k\cos (kx)$$

得到

$$I_N=I+\pi\sum_{m=1}^\infty a_{2mN}$$

所以收敛速度取决于 Fourier 系数的收敛速度。例如，

• 如果 $a_k\sim k^{-2}$，则得到的结果是 $1/N^2$ 收敛
• 如果 $a_k\sim e^{-\alpha k}$，则得到的结果是 $e^{-2\alpha N}$ 收敛

考虑积分

$$a_k=\frac2\pi\int_0^\pi f(x)\cos kx\mathrm dx$$

通过分部积分可以算出，如果 $f^{(2m+1)}(0)=f^{(2m+1)}(\pi)$，则收敛比任何多项式都要快。

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参考文献