拓扑空间

阐述

拓扑空间是一个集合 $X$ 包含了一定数量的开子集，并且任何并集与有限交集都是开的。这些所有的开子集的总和称为 $X$ 的拓扑。

• $Z\subset X$ 称为闭的，如果它的补集是开的
• 积拓扑：$X\times Y$ 有一个自然的拓扑结构，其中元素为 $U\times V$，其中 $U\subset X,V\subset Y$ 是开的
• 引导拓扑：$Z\subset X$ 有一个自然的拓扑结构，其中元素为 $X$ 中的开集与 $Z$ 的交。
• 拓扑空间之间的映射 $f:X\to Y$ 是连续的，如果对于任何一个开集合 $V\subset Y$，它的原像 $f^{-1}(V)$ 是开的。

在拓扑空间中，一个点 $x\in X$ 的邻域是任何一个包含 $x$ 的开集。拓扑空间的一个基 $\mathcal B$ 是一组开集，使得对所有点的所有邻域都有一个 $V\in\mathcal B$ 是它的子集 $V\subset U$。等价地，任何开集都是 $\mathcal B$ 中元素的并集。基的 Cartesian 积也可以是积拓扑的基。

拓扑群

一个拓扑群既是一个群，同时也是一个拓扑空间。并且它的乘积 $G\times G\to G$ 以及反演 $i:G\to G$ 是连续的。拓扑群的子群也是拓扑群。

Hausdorff 性

如果任两个不同点都具有不交的邻域，则称这个空间是 Hausdorff 的。在这样的空间里，可以定义点序列的极限 $x_n\to x$，如果任一个 $x$ 的邻域都含有几乎所有的项。

一个 Hausdorff 空间是紧的，如果任何开覆盖 $\{U_\alpha,\alpha\in A\}$ 都有一个有限子覆盖。

同胚

如果一个连续映射是一个双射，并且它的逆也是连续的，则称为一个同胚。

实例

以实数 $\mathbb R$ 为例：

• 所有开集就是一些开区间的不交并
• 它的基可以是所有开区间，也可以是所有端点为有理数的开区间，这说明它的基是可数的；这意味着 $\mathbb R^n$ 也是可数的。

性质

相关内容

参考文献