定义 1
如果一个随机过程 Xi∈R 满足以下条件
- E(∣Xi∣)<∞
- E(Xi+1∣X1,⋯,Xi)=Xi
就称它是一个鞅。第二个条件的表述也可以换成 E(Xi+1∣X1=x1,⋯,Xi=xi)=xi。
定义 2
如果一个随机过程 Yi 满足
- E(∣Yi∣)<∞
- Yi 是 X1,⋯,Xi 的函数
- E(Yi+1∣X1,⋯,Xi)=Yi
就称它是一个相对于 Xi 的鞅。
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这两个定义是等价的,即如果 Yi 是一个相对于 Xi 的鞅,那么它自己也是一个鞅。
- Z 上的随机游走是一个鞅
- 如果 Xi 是独立同分部随机变量,平均值为 0,则 Sn=X1+⋯+Xn 是一个鞅
- 如果 Xi 是独立同分部随机变量,平均值为 0,方差为 1,则 Mi=Si2−i 是一个鞅
Doob 鞅
如果 X,Yi 是随机变量且 E(∣X∣)<∞,则 Mi=E(X∣Y1,⋯,Yi) 是一个相对于 Yi 的鞅。
- 如果 Xi,Yi 是鞅,并且它们独立,则 Xi+Yi 也是鞅。
如果 Mi 是关于 Xi 的鞅:
- E(Mi)=E(M1)
- E(Mi∣X1,⋯,Xj)=Mj,j≤i
- Mi 的增量是不相关的,即 E((Mj−Mi)(Mj′−Mi′))=0,i<j<i′<j′
鞅的收敛
若一个鞅是一致有界的 E(∣Mi∣)≤C<∞,那么极限
M∞=i→∞limMi
几乎确定存在,并且 E(∣M∞∣)<∞。
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参考文献