条件期望

阐述

设 $X, Y$ 是两个离散随机变量，$X$ 为实值，平均值为有限，定义

$$\mathbb{E}(X \mid Y)=\sum_y \mathbb{E}(X \mid Y=y) I_{Y=y}$$

这样的条件期望是一个随机变量而非一个数，并且它是一个 $Y$ 的函数。这可以解读为在给定 $Y$ 的信息后，对 $X$ 的最佳猜测。

实例

性质

若 $X, Y, Z$ 是随机变量，$f$ 是实值函数，则

• 如果 $X=f(Y)$，那么 $\mathbb E(X|Y)=X$
• 如果 $X, Y$ 独立，那么 $\mathbb E(X|Y)=\mathbb E(X)$
• $\mathbb E(\mathbb E(X|Y))=\mathbb E(X)$
• 如果 $X$ 与 $Y,Z$ 的联合独立，那么 $\mathbb E(XY|Z)=\mathbb E(X)\mathbb E(Y|Z)$
• 如果 $Y=f(Z)$，那么 $\mathbb E(XY|Z)=\mathbb E(X|Z)Y$
• 如果 $Y=f(Z)$，那么 $\mathbb E(\mathbb E(X|Y)|Z)=\mathbb E(\mathbb E(X|Z)|Y)=\mathbb E(X|Y)$

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参考文献