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稳态测度

为了把稳态分布推广到可数无穷的情况,我们需要放宽可归一性的限制。

阐述

一个可数集 X\mathcal X 上的测度是函数 μ:XR0\mu:\mathcal X\to\mathbb R_{\ge 0}。在下面我们会假定 μ(x)>0\mu(x)>0

关于 Markov 链 PP 的稳态测度是测度 π\pi 使得 πP=π\pi P=\pi。显然,这样定义的测度包含了稳态分布

实例

性质

可逆性

类似于稳态分布,可逆的测度也是稳态测度。

存在与唯一性

不同于有限状态 Markov 链和稳态分布的对应关系,对于可数状态 Markov 链和稳态度量而言,即使它是不可约的,稳态度量也可能不存在、存在一个或存在多个。要得出什么有用的结论,必须依赖于常返性。

  • 如果 PP 有一个常返状态,那么它有稳态测度
  • 如果 PP 是不可约的、常返的,那么它的稳态测度在差一个常数的意义下是唯一的

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参考文献