随机变量的耦合
两个 X 上的分布 μ,ν 的耦合是一个联合分布 η,它的边际分布分别是 μ,ν。
随机过程的耦合
两个 X 上的随机过程具有相同的矩阵 P,则它的耦合是另一个 Markov 链 (Xi,Yi),它的边际分布其中
P(Xi+1=x′∣Xi=x,Yi=y)=P(x,x′)P(Yi+1=y′∣Xi=x,Yi=y)=P(y,y′)
并且我们要求当 Xi=Yi 的时候,它们将继续一起移动。
考虑这样一个问题:在 G={1,⋯,n} 上的随机游走,若两个 Markov 链分别开始于 X0=x,Y0=y,并且 x<y,则从直觉上应该有
P(Xi=n∣X0=x)≤P(Yi=n∣Y0=y)
如果使用耦合,则很容易证明:让两个链一起移动,此时必有 Xi≤Yi,因此
P(Xi=n)=P(Xi=n,Yi=n)≤P(Yi=n)
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参考文献