耦合

阐述

随机变量的耦合

两个 $\mathcal X$ 上的分布 $\mu,\nu$ 的耦合是一个联合分布 $\eta$，它的边际分布分别是 $\mu,\nu$。

随机过程的耦合

两个 $\mathcal X$ 上的随机过程具有相同的矩阵 $P$，则它的耦合是另一个 Markov 链 $(X_i,Y_i)$，它的边际分布其中

$$\begin{array}{r} \mathbb{P}\left(X_{i+1}=x^{\prime} \mid X_i=x, Y_i=y\right)=P\left(x, x^{\prime}\right) \\ \mathbb{P}\left(Y_{i+1}=y^{\prime} \mid X_i=x, Y_i=y\right)=P\left(y, y^{\prime}\right) \end{array}$$

并且我们要求当 $X_i=Y_i$ 的时候，它们将继续一起移动。

实例

考虑这样一个问题：在 $G=\{1,\cdots,n\}$ 上的随机游走，若两个 Markov 链分别开始于 $X_0=x,Y_0=y$，并且 $x<y$，则从直觉上应该有

$$\mathbb P(X_i=n|X_0=x)\le\mathbb P(Y_i=n|Y_0=y)$$

如果使用耦合，则很容易证明：让两个链一起移动，此时必有 $X_i\le Y_i$，因此

$$\mathbb P(X_i=n)=\mathbb P(X_i=n,Y_i=n)\le\mathbb P(Y_i=n)$$

性质

相关内容

参考文献

• Coupling