Poisson 过程

定义连续时间、离散状态的 Markov 链时，我们把它看作是在某个状态上等待一段时间，然后再跳跃到另一个状态，这个等待的时间是一个随机变量。如果希望它保持 Markov 性，那么就有

\mathbb P(T>t|T>s)=\mathbb P(T>t-s)

实际上，只有指数分布满足这个特性，也即当 $\mathbb P(T\le t)=1-e^{-\lambda t}$ 时，这个性质得到满足。

阐述

设 $T_i\sim\exp(\lambda)$ 是独立随机变量，则参数 $\lambda$ 的 Poisson 过程是一个连续时间的随机过程 $N_t\in\mathbb N$ ，满足

N_t=\max\{i:T_1+\cdots+T_i\le t\}

上式可以解读为：在每次跳跃之前等待 $T_i$ 的时间，因而在时间 $t$ 之前的总跳跃次数就是 $N_t$ 。

该过程具有 Markov 性：如果 $N_t$ 是参数 $\lambda$ 的 Poisson 过程，那么 $(N_{t+s}-N_s)_{t\ge0}$ 也是参数 $\lambda$ 的 Poisson 过程，

在每一个时间点 $t$ 上，都有 $N_t\sim\operatorname{Pois}(\lambda t)$ 。