切空间

阐述

对于微分流形 $M$ 中的上的函数 $\alpha:(-\varepsilon, \varepsilon) \rightarrow M$ ，设其在 0 处的取值为 $p$ ，而 $D$ 是在 $p$ 处可微的函数。定义 $\alpha$ 在 0 处的切向量 $\alpha'(0)$ 是一个函数

\alpha^{\prime}(0) f=\left.\frac{d(f \circ \alpha)}{d t}\right|_{t=0}, \quad f \in \mathcal{D}

所有 $p$ 点处切向量的集合记作 $T_pM$ ，它是一个向量空间，称为切空间。

给定一个参数化 $\mathbf{x}: U \rightarrow M^{n} \text { at } p=\mathbf{x}(0)$ ，那么函数和曲线都可以参数化地表示出来（ $n\to 1$ 的函数和 $1\to n$ 的参数曲线）。这时 $\alpha'(0)f$ 的值对应于方向导数

\left(\sum_{i} x_{i}^{\prime}(0)\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{0}\right) f

那么，切向量本身就是可以表达为一组微分算符的叠加：

\alpha^{\prime}(0)=\sum_{i} x_{i}^{\prime}(0)\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{0}

因此，一个参数化也同时定义了切空间中的一组基。

对于过 $p$ 的任意一条曲线 $\alpha$ ，记 $\beta=\phi\circ\alpha$ ，我们都可以找到 $\alpha'(0)$ 和 $\beta'(0)$ 之间的对应关系，这种关系定义了一个映射

d \varphi_{p}: T_{p} M_{1} \rightarrow T_{\varphi(p)} M_{2}

它是线性的且不依赖于具体的 $\alpha$ 。所以它被称为是 $\varphi$ 在 $p$ 的微分。