幂法

阐述

用 Hessenberg 分解得到的矩阵 $H$ 不断乘以一个向量，最终会得到相对于最大的绝对值的特征值的向量。设

$$|\lambda_1|>|\lambda_2|\ge\cdots\ge|\lambda_m|$$

相应的 $x=\sum_ic_iq_i$，经过 $n$ 次迭代后特征向量的误差在 $O((\lambda_2/\lambda_1)^n)$ 量级。得到特征向量之后，可以用 Rayleigh 商求出特征值：

$$\lambda_1\approx r(x)=\frac{x^*Ax}{x^*x}$$

由于 Rayleigh 商处于极值，一阶导数为 0，因此若 $x=q_1+\delta$，则 $r=\lambda+O(\delta^2)$，因此特征值收敛速度是特征向量的两倍。

幂法的扩展：

• 计算最小的特征值：反幂法，用 $A^{-1}$
• 计算最接近 $\mu$ 的特征值：用 $(A-\mu I)^{-1}$ 做反幂法
• 用 Arnoldi 迭代加速收敛
• 收缩法：在算出第一个特征值之后，每次迭代的时候将第一个分量消去：

$$x=(I-q_1q_1^*)Ax$$

实例

性质

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参考文献