微分流形

阐述

一个 $n$ 维的微分流行是一个集合 $M$ 以及一组单射 $\mathbf{x}_{\alpha}: U_{\alpha} \subset \mathbf{R}^{n} \rightarrow M$，使得

1. $\bigcup_{\alpha} \mathbf{x}_{\alpha}\left(U_{\alpha}\right)=M$
2. 对于两个映射的值域交集 $\mathbf{x}_{\alpha}\left(U_{\alpha}\right) \cap \mathbf{x}_{\beta}\left(U_{\beta}\right)=W \neq \phi$，它们对应的原像 $\mathbf x_\alpha^{-1}(W)$ 和 $\mathbf x_\beta^{-1}(W)$ 仍然是开集，而且 $\mathbf{x}_{\beta}^{-1} \circ \mathbf{x}_{\alpha}$ 是可微的
3. $\left\{\left(U_{\alpha}, \mathbf{x}_{\alpha}\right)\right\}$ 是最大的

其中每一个对 $\left(U_{\alpha}, \mathbf{x}_{\alpha}\right)$ 称为一个集合 $M$ 中点 $p$ 的参数化，它的值域称为坐标邻域。所有的对合起来称为一个微分结构。

微分结构导致了一个自然的 $M$ 的拓扑：$A\subset M$ 是开的当且仅当 $\mathbf{x}_{\alpha}^{-1}\left(A \cap \mathbf{x}_{\alpha}\left(U_{\alpha}\right)\right)$ 是开的。

微分流形的映射

称 $\varphi: M_{1} \rightarrow M_{2}$ 在 $p$ 点是可微的，如果存在一个参数化 $\mathbf{y}: V \subset \mathbf{R}^{m} \rightarrow M_{2}$ 和一个参数化 $\mathbf{x}: U \subset \mathbf{R}^{n} \rightarrow M_{1}$ 使得

$$\mathbf{y}^{-1} \circ \varphi \circ \mathbf{x}: U \subset \mathbf{R}^{n} \rightarrow \mathbf{R}^{m}$$

在 $x^{-1}(p)$ 是可微的。这个条件并不依赖于参数化的具体形式。称这个实数空间的映射是一个表达。

实例

Euclidean 空间和恒等映射是一个微分流形的平凡例子。

实投影空间

$\mathbb R^{n+1}$ 中所有方向构成的集合是一个 $n$ 维微分流形。

性质

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参考文献

• Differential manifold - Wikipedia