拓扑流形

阐述

一个具有 Hausdorff 性的拓扑空间 $X$ 是一个 $n$ 维拓扑流形，如果它有一个可数的基，并且对于任一个点 $x$，都存在一个邻域 $\phi:U\to\mathbb R^n$ 使得 $U\to\phi(U)$ 是一个同胚且 $\phi(U)\subset\mathbb R^n$ 是开的。这个 $n$ 是唯一确定的，所以 $X$ 的维数是 $n$。

空集的维数可以是任何整数。

具有上述性质的映射称为一个局域图，且一个 atlas 是一组这样的图，使得它们的邻域可以覆盖整个空间。

• 空间至少有一个 atlas，每个点周围都有一个邻域；
• $\mathbb R^n$ 中的开集有一个单图的 atlas，$S^n$ 则可以是两个
• 如果 $X$ 是紧的，那么它有一个 atlas 有有限个图
• 总是有可数个图

如果两个图有交集，则可以定义转移映射

$$\phi \circ \psi^{-1}: \psi(U \cap V) \rightarrow \phi(U \cap V)$$

正则性

称一个 atlas 具有正则类 $C^k$，如果所有转移映射都是 $C^k$ 的。如果它是实解析的或复解析的，那么也称 atlas 具有这些性质。

称两个 atlas 是相容的，如果 $U_\alpha,V_\beta$ 之间任何一个转移映级级也是同等类。

当 $X$ 上有一个这样的等价类时，它即称为一个 $C^k$、实解析或复解析的流形。复解析流形简称为复流形，而实解析流形称为光滑流形。它们之间的同胚也称为微分同胚。

实例

1. $\mathbb R^n$ 是一个 $n$ 维拓扑流形
2. 任何拓扑流形的开子集都是同样维数的拓扑流形
3. $S^1$ 是一个 1 维拓扑流形，它的映射是 $\phi(\theta)=\tan(\theta/2)$；同理， $S^n$ 也是
4. 一个 $\infty$ 形的曲线不是拓扑流形，因为在交叉点无法找到一个与 $\mathbb R$ 同胚的映射

性质

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参考文献