调和函数

阐述

设 $P$ 是一个 $\mathcal X$ 上的 Markov 链。一个函数 $f:\mathcal X\to\mathbb R$ 如果使得 $\mathbb E(f(X_1)|X_0=x)=f(x)$，也即 $Pf=f$，那么就称它是一个调和函数。

可以认为调和函数是一种将 Markov 链的长期行为参数化的方式，有多少种长期行为，调和函数的空间就有几维。

实例

$\mathbb Z$ 上的偏移随机游走

调和函数的条件给出

$$f(x)=p f(x-1)+q f(x+1)$$

所有的调和函数都具有形式 $f(x)=a+b(p/q)^x$

$\mathbb Z$ 上的超级随机游走

若每次能向左或向右移动 1 或 2 步或原地不动，则有

$$f(x)=p_{-2} f(x-2)+p_{-1} f(x-1)+p_0 f(x)+p_1 f(x+1)+p_2 f(x+2)$$

若猜测它具有形式 $c^x$，则能得到 $c^2=p_{-2}+p_{-1} c+p_0 c^2+p_1 c^3+p_2 c^4$。这个是四阶多项式，所以有四个根，这四个根给出的线性组合都满足条件。

性质

调和函数可以用来寻找鞅。设 $X_i$ 是 Markov 链而 $f$ 是相应的调和函数，那么 $f(X_i)$ 就是一个关于 $X_i$ 的鞅。

如果 $P$ 是不可约、常返的，那么有界的调和函数只有常数函数。所以，调和函数只在非常返的 Markov 链中比较有用。

调和函数的扩张

设 $P$ 是一个 Markov 链，且在集合 $S\subseteq\mathcal X$ 上满足 $P(x,x)=1$，并且几乎一定会进入到这个集合，那么任何一个有界函数 $f:S\to\mathbb R$ 都可以扩张成一个调和函数，且满足

$$\tilde{f}(x)=\mathbb{E}\left(f\left(X_T\right) \mid X_0=x\right),$$

其中 $T$ 是第一次进入 $S$ 的时间。

推论

如果 $P$ 是有限状态空间上的不可约 Markov 链，$A,B\subseteq\mathcal X$ 是两个不相交的集，$T$ 是第一次进入 $A$ 或 $B$ 的时间，那么函数 $\mathbb P(X_T\in A|X_0=x)$ 对 $\tilde P$ 是一个调和函数，其中 $\tilde P$ 是通过修改 $P$ 使得对所有 $x\in A,B$ 都有 $P(x,x)=1$ 得到的。

相关内容

调和函数和稳态测度的区别是，稳态测度有 $\mu P=P$，而这个是 $Pf=f$。

参考文献